Как сделать автоматическое сохранение динамических данных в кэш на сайте?

Есть два хороших способа: Cookie и Local Storage

Если раньше не работали с хранением данных на сайте то рекомендую изучить Local Storage он проще

// При клике вызовите
localStorage.setItem('userName', 'Alexandr');

// При загрузке страницы
var userName = localStorage.getItem('userName');
if(userName){
   alert( userName );
}