Как сделать вывод данных из БД в зависимости от выбранного radio button?

Прежде всего, необходимо сделать запрос БД для получения массивов возможных периодов времени. Реализаций здесь может быть несколько.
Я бы советовал сделать запрос подключения к БД в отдельном файле и подключить его в основной используя include или require.
Пример: include "bd.php";

Далее Вы можете прямо в этом же файле сделать запрос в БД по каждому из участников, либо по id мастера, либо лучше по дате(Так как предыдущие даты Вам нет необходимости проверять, так как на предыдущее число не должно быть возможности сделать запись к мастеру).

Читайте, пожалуйста, комментарии во всех примерах для полного понимания.
Запрос, в Вашем случае выглядел бы следующим образом. Не знаю, используется ли PDO, по-этому пример с mysqli:

$servername = ""; // Тут указываете ip Вашей базы данных
$username = ""; // Логин пользователя mysql
$password = ""; // Пароль пользователя mysql
$db = ""; // Название базы данных.
$conn = mysqli_connect($servername, $username, $password, $db); // Выполняем подключение

if ($conn->connect_errno) { // Проверяем ошибки
    // Соединение не удалось.
    echo "Ошибка: Не удалась создать соединение с базой MySQL и вот почему: \n";
    echo "Номер ошибки: " . $conn->connect_errno . "\n";
    echo "Ошибка: " . $conn->connect_error . "\n";
    exit;
}

$today = date("Y-m-d"); // Формат даты делаем такой же как и в базе данных

$query = "SELECT * FROM `desavir_Полина` WHERE (date>='$today')"; // Готовимзапрос в БД
$q = mysqli_query($conn, $query); //Отправляем запрос
$q = mysqli_fetch_array($q); //Получаем данные по мастеру Полины в массиве.

// Так же для каждого мастера

Далее, в основном файле делаем параметры фильтрации через функцию if.
Если мастер "Полина", то показываем одни данные, если другой, то другие.
Вот условный пример (лишнее удалил, чтобы не нагружало понимание примера):

<main>
    <form action="php/rec.php" method="post">
        <div id="Page_center">
            <div class="employee">
                <div class="section_name">
                    <snap class="section_text">Выберите мастера</snap>
                </div>

                <label class="employee_data">
                    <input type="radio" name="master" value="#desavir_Полина" required checked>

                    <snap class="info_of_employee">Полина</snap>
                </label>
                <label class="employee_data">
                    <input type="radio"  name="master" value="#desavir_Света">

                    <snap class="info_of_employee">Света</snap>
                </label>
                <label class="employee_data">
                    <input type="radio"  name="master" value="#desavir_pedi_Света">
                    <snap class="info_of_employee">Света</snap>
                </label>
            </div>
            <div class="date">
                <div class="section_name">
                    <snap class="section_text">Выберите дату и время</snap>
                </div>

               <select id="Polina">
                <?php foreach ($q as $key=>$value){
                    echo '<option>'.$value['date'].'</option>'; //Выводим даты в селект, ну или в другие параметры по желанию
                }?>
                </select>
                <select id="Sveta1">
                    <?php foreach ($q1 as $key=>$value){ // Где $q1 это данные запроса в mysql по таблице Светы1
                        echo '<option>'.$value['date'].'</option>'; //Выводим даты в селект, ну или в другие параметры по желанию
                    }?>
                </select>
                <select id="Sveta2">
                    <?php foreach ($q2 as $key=>$value){ // Где $q2 это данные запроса в mysql по таблице Светы2
                        echo '<option>'.$value['date'].'</option>'; //Выводим даты в селект, ну или в другие параметры по желанию
                    }?>
                </select>
                </div>
            </div>
            <div class="submit_button">
                <input type="submit" value="Записаться" class="button_or" name="zapis_button">
            </div>
        </div>
    </form>

И к нему добавляем JS файл, для того, чтобы данные менялись сразу, а не при перезагрузке, как в PHP.

        window.onload = function () {
            document.getElementById('Polina').hidden = true;
            document.getElementById('Sveta1').hidden = true;
            document.getElementById('Sveta2').hidden = true;
            var masters = document.getElementsByName('master'); // Ищем все поля с именем master
            for(let i=0;i<masters.length;i++){
                masters[i].addEventListener('change', function () { //Прослушиваем изменения
                    if (masters[i].checked == true){ // Проверяем выбран ли элемент
                        if (i == 0){ // 0 У нас Полина, так как в массиве начинается отсчёт с 0. В зависимости от этого показываем нужные поля и скрываем ненужные
                            document.getElementById('Polina').hidden = false;
                            document.getElementById('Sveta1').hidden = true;
                            document.getElementById('Sveta2').hidden = true;
                        } else if (i == 1){ // 1 Это Света1. В зависимости от этого показываем нужные поля и скрываем ненужные
                            document.getElementById('Sveta1').hidden = false;
                            document.getElementById('Polina').hidden = true;
                            document.getElementById('Sveta2').hidden = true;
                        } else if (i == 2){ // 2 Это Света2 . В зависимости от этого показываем нужные поля и скрываем ненужные
                            document.getElementById('Sveta2').hidden = false;
                            document.getElementById('Polina').hidden = true;
                            document.getElementById('Sveta1').hidden = true;
                        }
                    }
                })
            }
        }

Таким образом, у нас получится быстрая и адаптивная возможность менять данные в зависимости от выбранного мастера.