Начально-краевая задача для уравнения теплопроводности
Мне нужно решить начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности с запаздыванием по времени. А именно нужно доказать теорему существования и единственности решения. Нет ли ни у кого подобных примеров или литературы. Как это можно сделать?
Ответы (1 шт):
Нужно рассмотреть решение от обратного, т.е. предположим, что есть 2 решения - u1 и u2.
Тогда разность u1 и u2 будет удволетворять:
v(x, t) ≡ 0 будет являться решением этой задачи. Остается доказать, что других решений нет.
Домножим обе части на
v(x,t)и проинтегрируем поxот0доlПрименим интегрирование по частям. В силу краевых условий подстановка обратится в ноль:
Так как
То из результата интегрирования (предыдущая вставка) следует, что z(t) - не положительна:
Значит, z(t) - невозрастающая функция и z(t) <= z(0) при t >= 0.
Из начального условия получаем:
С учетом неотрицательности z(t) выполняется неравенство 0<=z(t)<=0, что значит что z(t) ≡ 0.
Так как подинтегральная функция неотрицательна, то v(x, t) = 0. А в силу непрерывности v(x,t) - v(x, t) ≡ 0
А вообще, данное доказательство представлено практически во всех учебниках по мат.физике