Mysql группировка с MIN()

пишу MYSQL запрос который должен выводить самые дешевые товары, сгруппированные по полю name и у которых count > 0

Вот сам запрос:

SELECT `s1`.*
    FROM `products` AS `s1`
    JOIN (
      SELECT `name`, MIN(`price`) AS `price`             
      FROM `products` 
      WHERE `category`=1  
      GROUP BY `name`) AS `s2`
      ON `s1`.`name` = `s2`.`name` AND `s1`.`price` = `s2`.`price` 
    WHERE `category`=1 LIMIT 0, 25

Не пойму куда вставить count>0, чтобы выводился сгруппированный товар с наименьшей ценой у которого количество (поле count) больше 0 (если такой имеется), если такого нет, то просто с наименьшей ценой

[перемещено из комментария]

Версия сервера: 5.5.64-MariaDB

CREATE TABLE IF NOT EXISTS products ( 
    id int(20) unsigned NOT NULL, 
    category varchar(200) NOT NULL, 
    name varchar(128) NOT NULL, 
    price decimal(10,2) NOT NULL, 
    count int(4) NOT NULL
) ENGINE=InnoDB AUTO_INCREMENT=100 DEFAULT CHARSET=utf8;