Используя || вывести сообщение об ошибке если пользователь не введет возраст или нажмет отмену

Странная задача конечно, как вариант можно сделать так :

const error = () => console.log("Error!")

const displayDate = age => console.log(`You year of birdth ${new Date().getFullYear() - age}`)

const doIt = () => {
  const age = +prompt("How are you old?")
  age && displayDate(age) || !age && error()
}

doIt()

Логическое ИЛИ в классическом программировании работает следующим образом: "если хотя бы один из аргументов true, то возвращает true, иначе – false". В JavaScript это не совсем так. Если значение не логического типа – то оно к нему приводится в целях вычислений. Например, число 1 будет воспринято как true, а 0 – как false. JavaScript вычисляет несколько ИЛИ слева направо. При этом, чтобы экономить ресурсы, используется так называемый «короткий цикл вычисления».

Допустим, вычисляются несколько ИЛИ подряд: a || b || c || .... Если первый аргумент – true, то результат заведомо будет true (хотя бы одно из значений – true), и остальные значения игнорируются.

Это особенно заметно, когда выражение, переданное в качестве второго аргумента, имеет сторонний эффект – например, присваивает переменную. При запуске примера ниже присвоение x не произойдёт:

var x;

true || (x = 1);

alert(x); // undefined, x не присвоен

…А в примере ниже первый аргумент – false, так что ИЛИ попытается вычислить второй, запустив тем самым присваивание:

var x;

false || (x = 1);

alert(x); // 1

Я думаю, вы должны вывести сообщение об ошибке тогда, когда age == undefined а не null. А Ваш запрос должен выглядеть так:

undefined == age || error();

Вообщем вот решение:

function error() {
   return'Error!';
}
var age = Number(prompt("How are you old?")) || error();
console.log(age);

Все очень просто, если вы введете в prompt число, то вернет число, в случае отмены, ввода строки, пустоты, вернет то, что находится в error().