Принять произвольное количество строк и вывести их в обратном порядке, не используя списки

Используйте строку для накопления

temp = "\0"
s = ""
while temp != "":
  temp = input()
  s = temp + '\n' + s # сразу записываем в обратном порядке. Введено позже - записано раньше

print(s.strip())

Результат

Каждый охотник
Желает
Знать где
Сидит
Фазан

Фазан
Сидит
Знать где
Желает
Каждый охотник

Рекурсия

>>> def rreverse():
...     a = input()
...     if a:
...         rreverse()
...         print(a)
... 
>>> rreverse()
Привет
Как дела
Понятно
Понятно
Как дела
Привет
>>>