Как запушить стороннюю папку в репозиторий на гитхаб?

Никак. Гит отслеживает только ту папку, в которой находится .git. Всё, что вне ее, в данный репозиторий не попадает. Придется копировать

В линуксе, может быть, можно сделать небольшим костылем через симлинк.

ПС. Смысл такой процедуры не понятен.

Слишком поздний ответ конечно, но надеюсь, что эта инфа пригодится начинающим , как и мне пригодилась ;)

Меня очень выручила эта статья: http://studyjavascript.blogspot.com/2017/10/github.html

По ней можно быстро и легко сделать необходимые действия.