Почему очередь не передаёт данные через мютекс из процесса в поток?

Попробую разобрать все проблемы, которые я увидел в коде.

1. Я бы не использовал Mutex для такой задачи, как и AutoResetEvent, так как оба тяжелые, и если вход в некую область выполнения кода должен производиться одновременно только одним потоком, я бы использовал ManualResetEventSlim или просто lock() какого-нибудь общего объекта.

   А Mutex я бы вообще оставил для кросс-процессной синхронизации, например, с помощью него можно сделать, чтобы нельзя было запустить 2 копии программы. Его именно для этого чаще всего и используют.

2. В вашем же случае второй поток стартует и пытается освободить еще пустую очередь, и сразу же завершается. Проблема наверное была не в мьютексе. Ну или я неправильно понял, как вы хотели, чтобы оно работало.

   Если задача состоит в том, чтобы сначала один поток заполнил очередь, а второй потом ее освободил, то вы неправильно вызываете потоки, у вас должно получиться что-то такое.

   static void Main()
   {
       IncThread mt1 = new IncThread("Инкрементирующий поток");
       mt1.Thrd.Join();
   
       DecThread mt2 = new DecThread("Декрементирующий поток");
       mt2.Thrd.Join();
   }
   

   И да, здесь вообще теряется весь смысл многопоточности, ну кроме того, что она есть и работает. Эффекта от нее нет.

3. Лучше использовать Task вместо Thread.

4. Если же нужна реализация фокуса, состоящего в том, чтобы получать данные от внешнего процесса и одновременно по факту получения забирать их в другом потоке, то в бой вступают конкурентные коллекции, специально предназначенные для многопоточности. Моя любимая коллекция из таких - BlockingCollection.

Итак, попробую воплотить в коде то, что понаписал выше. На базе обычного консольного приложения.

public class Program
{
    static void Main(string[] args)
    {
        // Запускаем задачи
        Task task1 = new Producer("Передающая задача").Task;
        Task task2 = new Consumer("Принимающая задача").Task;

        // И ждем их завершения
        Task.WaitAll(task1, task2);
        Console.WriteLine("Все задачи завершены.");

        // Ну и чтобы окошко сразу не закрылось
        Console.ReadKey();
    }
}
static class SharedRes
{
    // та самая блокирующая коллекция
    public static BlockingCollection<string> Data { get; } = new BlockingCollection<string>();

    // содержит отменяющий токен, необходимый для прерывания ожидания блокирующей коллекции
    public static CancellationTokenSource Cts { get; } = new CancellationTokenSource();
}

class Producer
{
    public Task Task { get; }
    public string Name { get; }

    public Producer(string name)
    {
        Name = name;
        Task = Task.Run(Run);
    }

    void Run()
    {
        ProcessStartInfo startInfo = new ProcessStartInfo()
        {
            FileName = "ping",
            Arguments = "www.ya.ru",
            RedirectStandardOutput = true,
            UseShellExecute = false,
            CreateNoWindow = true
        };

        using (var pingProcess = new Process())
        {
            pingProcess.StartInfo = startInfo;
            pingProcess.OutputDataReceived += OutputDataReceived;
            pingProcess.Start();
            pingProcess.BeginOutputReadLine();

            pingProcess.WaitForExit();
        }
        SharedRes.Cts.Cancel(); // отправить сигнал в BlockingCollection, что пора заканчивать
        Console.WriteLine(Name + " завершает работу.");
    }

    private static void OutputDataReceived(object sender, DataReceivedEventArgs e)
    {
        Console.WriteLine("Мы в задаче один");
        SharedRes.Data.Add(e.Data);
        // немного упростил запись в лог
        File.AppendAllText("log.txt", e.Data + Environment.NewLine);
    }
}

class Consumer
{
    public Task Task { get; }
    public string Name { get; }

    public Consumer(string name)
    {
        Name = name;
        Task = Task.Run(Run);
    }

    void Run()
    {
        try
        {
            // Здесь коллекция ждет, пока не появится новый элемент или пока токен не получит отмену
            foreach (string s in SharedRes.Data.GetConsumingEnumerable(SharedRes.Cts.Token))
            {
                Console.WriteLine("Мы в задаче два");
                Console.WriteLine(s);
            }
        }
        catch (OperationCanceledException ex)
        {
            // Здесь можно вообще ничего не делать
            Console.WriteLine("Ожидание новых данных прервано: " + ex.Message);
        }
        Console.WriteLine(Name + " завершает работу.");
    }
}

Можно еще упростить код и сделать его приятнее с точки зрения логичности и читабельности, а также не блокировать основной поток при ожидании дочерних, с помощью async/await, но это уже другая история.

Вывод:

Мы в задаче один
Мы в задаче два

Мы в задаче один
Мы в задаче два
Pinging ya.ru [87.250.250.242] with 32 bytes of data:
Мы в задаче один
Мы в задаче два
Reply from 87.250.250.242: bytes=32 time=17ms TTL=249
Мы в задаче один
Мы в задаче два
Reply from 87.250.250.242: bytes=32 time=16ms TTL=249
Мы в задаче один
Мы в задаче два
Reply from 87.250.250.242: bytes=32 time=17ms TTL=249
Мы в задаче один
Мы в задаче два
Reply from 87.250.250.242: bytes=32 time=16ms TTL=249
Мы в задаче один
Мы в задаче два

Мы в задаче один
Мы в задаче два
Ping statistics for 87.250.250.242:
Мы в задаче один
Мы в задаче два
    Packets: Sent = 4, Received = 4, Lost = 0 (0% loss),
Мы в задаче один
Мы в задаче два
Approximate round trip times in milli-seconds:
Мы в задаче один
Мы в задаче два
    Minimum = 16ms, Maximum = 17ms, Average = 16ms
Мы в задаче один
Мы в задаче два

Предающая задача завершает работу.
Ожидание новых данных прервано: The operation was canceled.
Принимающая задача завершает работу.
Все задачи завершены.