WPF Как проверить выбранный CheckBox?

Вы боретесь с контролами, и при этом не используете встроенные возможности WPF. Обратите внимание на шаблон программирования MVVM.

Я покажу короткий пример на базе этого шаблона.

Потребуется вспомогательный класс для реализации INotifyPropertyChanged интерфейса. Суть его заключается в том, чтобы уведомлять UI о любых изменениях просто изменяя данные.

public class NotifyPropertyChanged : INotifyPropertyChanged
{
    public event PropertyChangedEventHandler PropertyChanged;
    protected virtual void OnPropertyChanged([CallerMemberName]string propertyName = null)
        => PropertyChanged?.Invoke(this, new PropertyChangedEventArgs(propertyName));
}

Затем потребуется класс с данными, и сразу сделаю его так, чтобы он уведомлял интерфейс об изменениях. Другими словами, если вы внесете изменения в DataGrid, они сразу поменяются в данных, и наоборот. Вам не придется больше взаимодействовать с DataGrid, а только с данными.

public class UserItem : NotifyPropertyChanged
{
    private int _numReq;
    private string _shortDesc;
    private string _longDesc;
    private string _fioUser;
    private bool _statusReq;

    public int NumReq
    {
        get => _numReq;
        set
        {
            _numReq = value;
            OnPropertyChanged(); // уведомляет UI об изменении
        }
    }
    public string ShortDesc
    {
        get => _shortDesc;
        set
        {
            _shortDesc = value;
            OnPropertyChanged();
        }
    }

    public string LongDesc
    {
        get => _longDesc;
        set
        {
            _longDesc = value;
            OnPropertyChanged();
        }
    }

    public string FioUser
    {
        get => _fioUser;
        set
        {
            _fioUser = value;
            OnPropertyChanged();
        }
    }

    public bool StatusReq
    {
        get => _statusReq;
        set
        {
            // сюда попадаем как только изменен чекбокс
            // при этом не важно, програмно или из UI
            // можно прямо отсюда кинуть запрос в БД, все нужные данные в прямой видимости
            _statusReq = value;
            OnPropertyChanged();
        }
    }
}

Затем, основной класс для MainWindow, который будет содержать все свойства, к которыйм в свою очередь будут привязаны зависимые свойства контролов интерфейса в помощью Binding.

public class MainViewModel : NotifyPropertyChanged
{
    private ObservableCollection<UserItem> _userList;

    public ObservableCollection<UserItem> UserList // коллекция, к которой привязана DataGrid
    {
        get => _userList;
        set
        {
            _userList = value;
            OnPropertyChanged();
        }
    }

    public MainViewModel()
    {
        UserList = new ObservableCollection<UserItem>();

    }
}

А чтобы интерфейс узнал, в каком классе все свойства, куда будут привязываться все биндинги, нужно задать DataContext у окна, два самых простых способа (выберите любой или придумайте свой):

1) в конструкторе окна

public MainWindow()
{
    InitializeComponent();
    MainViewModel vm = new MainViewModel();
    DataContext = vm;
}

2) разметке

<Window.DataContext>
    <local:MainViewModel/>
</Window.DataContext>

Ну и сама разметка таблицы

<ListView ItemsSource="{Binding UserList}" Margin="10,73,10,58">
    <ListView.View>
        <GridView>
            <GridViewColumn Header="№" Width="30" DisplayMemberBinding="{Binding NumReq}"/>
            <GridViewColumn Header="Название" Width="250" DisplayMemberBinding="{Binding ShortDesc}"/>
            <GridViewColumn Header="Описание" Width="*" DisplayMemberBinding="{Binding LongDesc}"/>
            <GridViewColumn Header="ФИО" Width="400" DisplayMemberBinding="{Binding FioUser}"/>
            <GridViewColumn Header="Статус заявки" Width="400">
                <GridViewColumn.CellTemplate>
                    <DataTemplate>
                        <CheckBox IsChecked="{Binding StatusReq, UpdateSourceTrigger=PropertyChanged}"/>
                        <!-- UpdateSourceTrigger перезаписывает свойство сразу как юзер на него нажмет -->
                    </DataTemplate>
                </GridViewColumn.CellTemplate>
            </GridViewColumn>
        </GridView>
    </ListView.View>
</ListView>

Работать с ObservableCollection можно точно так же как с уже знакомым вам List. Она отличается от List в основном тем, что внутри нее вызывается событие CollectionChanged при добавлении или удалнии элементов коллекции, а на него автоматически подписывается DataGrid.

UserList.Add(new UserItem() { NumReq = 1, FioUser = "Семён Семёнович", ShortDesc = "Монитор", LongDesc = "Выключился", StatusReq = false });

Про загрузку данных, просто грузите их не в DataGrid, а в коллекцию.

Если решитесь попробовать MVVM, есть еще команды, к ним можно биндить кнопки, меню и прочие контролы, в которых не меняются зависимые свойства, а просто надо что-то сделать, когда что-то нажато. Я не буду добавлять примеры использования команд в этот ответ, но их можно найти в других моих ответах StackOverflow, у меня в профиле.

Примеры

private ObservableCollection<MonitorReq> _monitorReqList = new ObservableCollection<MonitorReq>();

public ObservableCollection<MonitorReq> MonitorReqList // я бы так назвал
{
    get => _monitorReqList;
    set
    {
        _monitorReqList = value;
        OnPropertyChanged();
    }
}

public class MonitorReq : NotifyPropertyChanged
{
    // реализация класса данных
}