Разрешение на установку приложений

Для установки из неизвестных источников нужно запрашивать разрешение программно. Но для начала нужно в манифесте установить тоже разрешение:

<uses-permission android:name="android.permission.REQUEST_INSTALL_PACKAGES" />

Перед самим процессом запроса разрешения можно проверить можно ли вообще такое разрешение запрашивать:

getPackageManager().canRequestPackageInstalls()

Теперь касательно программного запроса разрешения на установку приложений. Делается это все через интент (доки):

startActivity(new Intent(android.provider.Settings.ACTION_MANAGE_UNKNOWN_APP_SOURCES));

либо вы можете запросить настройки для конкретного приложения на разрешение установки:

startActivity(new Intent(android.provider.Settings.ACTION_MANAGE_UNKNOWN_APP_SOURCES, Uri.parse("package:your.application.package")));

Так же если есть файл .apk который вы хотите установить то можно это сделать таким способом:

Intent intent = new Intent(Intent.ACTION_INSTALL_PACKAGE);
intent.setDataAndType(FileProvider.getUriForFile(this, "your.application.package.fileprovider", new File("/path/to/your/apk")), "application/vnd.android.package-archive");
intent.setFlags(Intent.FLAG_GRANT_READ_URI_PERMISSION);

startActivity(intent);

Так же можно установить разрешения в манифесте на изменение настроек безопасности:

<uses-permission android:name="android.permission.WRITE_SETTINGS" />
<uses-permission android:name="android.permission.WRITE_SECURE_SETTINGS" />

Вот тут документация про саму безопасность android системы. Для проверки разрешения установки из неизвестных источников можно сделать переменную:

boolean isNonPlayAppAllowed = Settings.Secure.getInt(getContentResolver(), Settings.Secure.INSTALL_NON_MARKET_APPS) == 1;

и проверять при попытке установить приложение со стороны:

if (!isNonPlayAppAllowed) {
    startActivity(new Intent(android.provider.Settings.ACTION_SECURITY_SETTINGS));
}

Вот есть подобные вопросы 1 и 2.