Как интегрируется платежная система в Flutter?

Не возможно ответить конкретно на ваш вопрос. Какую платежную систему вы хотите использовать? Если для вашей платежной системы еще не написан пакет, то вы можете написать его сами. Так же вы можете использовать webview, для того чтобы отобразить платежную страницу.

Flutter активно развивается. Поэтому скоро появятся пакеты для всех платежных систем. Я бы рекомендовал использовать платежную систему, у которой уже есть пакет для flutter. Например stripe_payment