Как из первого активити изменить цвет фона второго активити?

Вы можете отправить значение переменной backgroundColor через Intent.

Примерный код в первой Activity:

Intent intent = new Intent(this, AddActivity.class);
if (darktema.isChecked()) {
    int backgroundColor = ContextCompat.getColor(this, R.color.dark);
    lay.setBackgroundColor(backgroundColor);
    intent.putExtra("backgroundColor", backgroundColor);
} else {
    int backgroundColor = ContextCompat.getColor(this, R.color.thiscolor);
    lay.setBackgroundColor(backgroundColor);
    intent.putExtra("backgroundColor", backgroundColor);
};
startActivity(intent);

Примерный код в AddActivity:

@Override
protected void onCreate(Bundle savedInstanceState) {
    super.onCreate(savedInstanceState);
    setContentView(R.layout.your_layout);

    View yourRootView = findViewById(R.id.your_root_view);

    Bundle extras = getIntent().getExtras();
    int backgroundColor = intent.getInt("backgroundColor");
    yourRootView.setBackgroundColor(backgroundColor);
};

UPDATE

Если AddActivity уже создано, то изменить тему в нём можно, например, с помощью Singleton.

Примерный Singleton:

class YourSingletonClass {

    Context addActivityContext = null;

    private YourSingletonClass () {
    };

    protected class Instance {
        private final static YourSingletonClass instance = new YourSingletonClass();
    };

    public static YourSingletonClass getInstance() {
        return Instance.instance;
    };

    public void setAddActivityContext(Context addActivityContext) {
        this.addActivityContext = addActivityContext;
    };

    public Context getAddActivityContext() {
        return this.addActivityContext;
    };
}

Тогда в AddActivity:

YourSingletonClass.getInstance().setAddActivityContext(AddActivity.this);

Соответственно, из первой Activity после этого можно будет изменить фон так:

Intent intent = new Intent(this, AddActivity.class);
if (darktema.isChecked()) {
    int backgroundColor = ContextCompat.getColor(this, R.color.dark);
    lay.setBackgroundColor(backgroundColor);
} else {
    int backgroundColor = ContextCompat.getColor(this, R.color.thiscolor);
    lay.setBackgroundColor(backgroundColor);
};
((AddActivity) YourSingletonClass.getInstance().getAddActivityContext()).yourRootView.setBackgroundColor(backgroundColor);

yourRootView должен быть объявлен вне методов .

Используя интент можно передать информацию о темной теме. При переходе на другую активность передаете данные:

Intent intent = new Intent(this, AddActivity.class);
intent.putExtra("dark", darktema.isChecked());
startActivity(intent);

и в второй активности обработать приходящие данные:

intent.getBooleanExtra("dark", false);

так же ваш код можно немного улучшить:

lay.setBackgroundColor(ContextCompat.getColor(this,if (darktema.isChecked()) {
R.color.dark
}else{
R.color.thiscolor
}));

я думаю так будет красивее :) В активности AddActivity.class можно сделать такую обработку данных о темной теме:

int color = if(ContextCompat.getColor(this,intent.getBooleanExtra("sample", false){
R.color.dark
}else{
R.color.thiscolor
}));