Как программно получить html-разметку из aspx файла и отравить ее на компьютер-клиент?

Чтобы получить разметку программно, оберните нужное содержимое в элемент типа <div runat="server" id="divContent">. Тогда в коде вы сможете получить ее так:

using System;
using System.IO;
using System.Text;
using System.Web;
using System.Web.UI;
using System.Web.UI.HtmlControls;
using System.Web.UI.WebControls;

//...

protected void Button1_Click(object sender, EventArgs e)
{
    StringBuilder sb =new StringBuilder();
    StringWriter wr =new StringWriter(sb);

    Page page = new Page();
    HtmlHead head = new HtmlHead();
    head.Title = "Title";
    page.Controls.Add(head);
    HtmlForm f = new HtmlForm();
    page.Controls.Add(f);
    f.Controls.Add(this.divContent);
    HttpContext.Current.Server.Execute(page, wr, true);
    wr.Flush();

    string html = sb.ToString();
}

Затем полученную строку можно отправить в Response (собственно, можно сразу писать в Response.OutputStream вместо StringBuilder). Чтобы заставить браузер скачать файл вместо отображения, можно либо выставить Content-Type в application/octet-stream, либо добавить Content-Disposition: attachment.

Если же нужно просто заставить браузер скачать текущую страницу как есть, можно поступить проще:

Response.AddHeader("Content-Disposition", "attachment; filename=form.html");

Ну и наконец, странно что вы в кнопке "Напечатать" хотите сделать скачивание файла. Возможно, вместо этого лучше реализовать вызов диалога печати:

this.ClientScript.RegisterStartupScript(this.GetType(), "script1", "window.print();",true);