Как доказать, что дробь иррационального числа непериодическая?
Все знают, что дробь иррационального числа - бесконечная непериодическая.
Но как собственно эту непериодичность доказать? Попытался обратиться к Google, но не нашел ответа.
Заранее спасибо за ответ.
Ответы (1 шт):
Практически по определению.
Если число представимо в виде конечной десятичной дроби, вроде
то его можно записать так:
так что оно рациональное.
Если число представимо в виде периодической дроби, то мы имеем дело с бесконечной геометрической прогрессией, сумма которой - рациональное число:
Осталось доказать обратное - что если число иррациональное, то оно не представимо в виде бесконечной периодической дроби. Идем от противного - пусть есть такое иррациональное число, которое можно представить конечной или бесконечной периодической дробью. Тогда, как уже доказали это число рациональное, а значит, получаем противоречие. Поэтому иррациональное число нельзя представить ни конечной, ни бесконечной периодической дробью. Остается только бесконечная непериодическая дробь.