Как подключить свои стили Laravel Vue js?

Способов полно)

1. в шаблоне blade, через стандартный
2. в app.js через require()
3. в _variables.scss иди app.scss
4. Писать стили в самих компонентах Vue. Что в случае работы с данным фреймворков самое правильное. Пример:

<template>
<!-- тут будет сам компонент -->
</template>

<script>
export default {
name: "Example"
}
</script>

<style scoped lang="scss">
//Ваши стиль
//если указано scoped - стили будут применяться ТОЛЬКО для данного компонента
// в lang можно указывать синтаксис через который пишете. Если не указывать вообще - будет CSS
// для scss или sass небходимо подключать sass-loader и тд 
</style>