Как обратится к типу шаблонного класса из другой функции?

перегруженный оператор ввода у вас не является методом класса, этот оператор всего лишь дружественная функция к вашему классу, поэтому шаблон для него нужно прописывать отдельно, так как специализация функции не зависит от специализации класса и наоборот

template <class type>
class BigInteger
{
private:
  const type base = (1 << sizeof(type) * 4) - 1;
  vector<type> digits;

public:
  template <class type> // здесь новая строчка
  friend istream& operator >> (istream& in, BigInteger<type> object);
};

template <class type>   // и здесь 
istream& operator >> (istream& in, BigInteger<type> object)
{
  string input;
  in >> input;
  for (auto i = input.rbegin(); i != input.rend(); i++)
  {
    object.digits.push_back(*i);
  }
  return in;
}