Как передвинуть камеру вперёд?

Для того, чтоы понять, куда смотрит объект (то есть получить тот самый перед, куда нужно сдвинуть камеру) вы можете использовать gameObject.transform.forward Для самого сдвига можно использовать разные пути: сдвиг в Update (как предложил @RiotBr3aker в первом ответе), с помощью Vector3.MoveTowards, Vector3.Lerp и т.д.

Если вы хотите двигать камеру быстрее (или медленнее), чем она двигается с помощью transform.forward, то можно умножать это на speed. После чего можно поиграться с этой переменной speed, найдя оптимальную скорость.