Реализация кнопки "Выход" с переходом на экран авторизации

Ну тут может быть миллион вариантов, все зависит от вашей реализации.

Но в общем случае это выглядит так.

1. Пользователь входит в приложение, проверяется токен авторизации (или любой другой параметр определяющий, что пользователь авторизован).

   • Если пользователь не авторизован - отправляем его на авторизацию. После чего закрываем экран авторизации (метод finish()) и идем на экран приложения. Важно закрывать экран авторизации, чтоб пользователь при нажатии back на клавиатуре не вернулся на него (хотя если вам это поведение подходит, можете оставлять активити в стеке).
   • Если пользователь авторизован - то сразу его направляем в приложение, пропуская экран авторизации.

2. Выход. Обычно по нажатию на кнопку "Выход" вы чистите все данные пользователя (токены, можно кэш и другие данные которые относятся к конкретному пользователю). И дальше вы перенаправляете пользователя на экран авторизации. Тут важно опять таки выгрузить из стека все предыдущие активити, чтоб при нажатии на back он не вернулся в авторизованную зону.