Как вызвать функцию в начале или каждый фрейм без использования Update & Start

Смотри порядок вызова событий

https://docs.unity3d.com/Manual/ExecutionOrder.html

Тебе подходит LateUpdate

LateUpdate is called once per frame, after Update has finished.

Или "сопрограммы"(Coroutines) https://docs.unity3d.com/ScriptReference/WaitForEndOfFrame.html

public IEnumerator Foo()
{
    yield return new WaitForEndOfFrame();
    //Do something
}
  
       

Если хочешь вызвать метод в начале, используй Awake() или Main().

Если тебе не желательно использовать Update, то можно использовать корутины. Ты можешь создать корутин с бесконечным циклом(лучше с условием выхода), который вызовешь в Start().