Вероятность выпадения минимум 2 орлов подряд из 4 попыток

Забавно, что именно это можно решать, как блондинка из анекдота - "1/2, или получим, или нет!" :) А если всерьез...

Решаем вашу задачу - 2 орла подряд из 4 выпадений. Проще всего просто расписать все варианты - их всего 16 - и посчитать:

oooo  ooop  oopo  oopp
opoo  opop  oppo  oppp
pooo  poop  popo  popp
ppoo  ppop  pppo  pppp

Как видите, нужных вариантов - 8. Итого - вероятность получить 2 орла подряд - 1/2.

Так просто и понятно, или вы хотите какое-то иное решение?...

Update

"По формуле"...

Для данного случая рассматриваем 2 орла начиная с 1, 2 и 3 выпадения. Вероятность такого выпадения - 1/4.

Для первого выпадения вероятность - 1/4.
Для второго выпадения вероятность 1/4, умноженная на вероятность, что первое выпадение решка (1/2) = 1/4*1/2 = 1/8.
Для третьего выпадения вероятность 1/4, умноженная на вероятность, что второе выпадение решка (1/2) = 1/4*1/2 = 1/8.
Итого общая вероятность = 1/4+1/8+1/8 = 1/2.

Так сойдет?

От противного: посчитаем, сколько вариантов длиной N не содержат двух орлов подряд.

Назовём эту функцию F(N)

Количество вариантов с последней решкой равно F(N-1) (решку можно добавить к любому хорошему варианту меньшей длины)

Количество вариантов с последним орлом равно F(N-2), т.к. их можно получить, только добавив ро к варианту с длиной, меньшей на 2.

Итого получается

F(N) = F(N-1) + F(N-2)

т.е. числа Фибоначчи. А искомый ответ для количества вариантов, содержащих два орла подряд хотя бы один раз:

O(N) =  2^N - Fib(N)

N   O(N)
1   0
2   1
3   3
4   8
5   19  

Для большего количества k орлов подобная (но более сложная) логика приведёт к использованию последовательностей Фибоначчи порядка k.

Например, для трёх орлов будет последовательность "трибоначчи"

1, 1, 2, 4, 7, 13, 24,

Например, для n=5 будет 32-24=8 вариантов с минимум тремя орлами, для n=4: 16-13=3 варианта

Для n=6,k=4 с использованием "тетраначчи" 64-56=8 вариантов

Предложу вариант решения задачи "вероятность выпадения минимум 2 орлов подряд из n попыток".

Будем обозначать орла и решку o и p, последовательность выпадений орла и решки за n попыток словом длины n (например, opoop — подходящее слово длины 5).

Рассмотрим:

• a_n — количество слов длины n, в которых нет 2 подряд орлов И которые оканчиваются на o (для n = 3 имеем a_n = 2: opo, ppo)

• b_n — количество слов длины n, в которых нет 2 подряд орлов И которые оканчиваются на p (для n = 3 имеем b_n = 3: opp, pop, ppp)

Тогда заметим:

1. a_n+1 = b_n, потому что получить количество слов длины n+1, в которых нет 2 подряд орлов И которые оканчиваются на o, можно только добавлением o к словам длины n. Добавить o, не получив 2 подряд o, можно только к словам, оканчивающимся на p

2. b_n+1 = a_n + b_n, потому что получить количество слов длины n+1, в которых нет 2 подряд орлов И которые оканчиваются на p, можно только добавлением p к словам длины n. Добавить p, не получив 2 подряд o, можно как к оканчивающимся на o словам, так и к оканчивающимся на p словам

Рассмотрим сумму:

a_n + b_n = <используем 1> = b_n-1 + b_n = <используем 2> = b_n-1 + a_n-1 + b_n-1 = <ещё раз используем 2> = (a_n-2 + b_n-2) + (a_n-1 + b_n-1)

Внезапно, получили, что последовательность сумм является последовательностью Фибоначчи. Рассмотрев базовые случаи (F_1 и F_2), по индукции получаем, что a_n + b_n = F_n+2.

Тогда слова длины n, содержащие минимум 2 орла, находятся как все возможные слова (их 2^n) минус слова, в которых нет 2 подряд o (a_n + b_n = F_n+2).

Итоговая вероятность: (2^n - F_n+2) / 2^n.

Аналитически: (2^n - round(phi^n / sqrt(5)) / 2^n, где phi = (1 + sqrt(5)) / 2

Примеры:

• для n = 4 получаем: (16 - 8) / 16 = 0.5

• для n = 5 получаем: (32 - 13) / 32 = 0.59375

Для k орлов можно использовать последовательности Фибоначчи k-ого порядка, как указал участник @MBo в своём ответе. На Википедии как раз сказано, что "Последователь количеств строк из 0 и 1 длины m, содержащих не более n последовательных нулей, также является последовательностью Фибоначчи порядка n." и приводятся аналитические формулы для подсчёта членов таких последовательностей.