Почему форма с сайта не отправляется в базу данных?

Дело в том, что вы не вызываете свой PHP-скрипт.
Да, он у вас прописан в атрибуте action формы, но ни одна из кнопок на самом деле не отправляет форму. Каждая из ваших кнопок выполняет перенаправление, которое вы задаёте в JS-функции, а собственно отправки формы не происходит, ибо

    event.preventDefault();

То есть буквально: «Предупредить выполнение события по умолчанию».

У вас есть выбор: заменить кнопки, например, на радиокнопки, а по отправке формы сначала писать в БД, а потом обычным PHP'шным header("location: ...") перенаправить туда, куда вам нужно (так бы делал я); или же оставить всё как есть, но в JS-функции ещё AJAX'ом дёрнуть ваш PHP-скрипт (считаю это решение переусложнённым).
Если что-то непонятно, спрашивайте в комментариях, обновлю ответ.

UPDATE: Примерное решение на радиокнопках

Код примерный, сразу говорю (бэкенд особо не проверял — накидал примерно, ибо я бы делал на PDO). Там есть мои комментарии, они в квадратных скобках и с пометкой A. P.. Да, и ещё я несколько улучшил код, если что-то непонятно, снова пишите в комментарии.

HTML

<form action="post.php" method="POST" class="form">
                    <div class="input-wrap">
                        <label for="num" class="phone-on-form" >Номер<br> телефона</label>
                        <!-- [Тип для телефонов — tel, а не phone — A. P.] -->
                        <!-- [У вас в PHP переменная называется num, поэтому здесь name тоже должен быть num. Ну или наоборот, но поскольку тип tel, пусть будет num — A. P.] -->
                        <!-- [Ещё можно добавить шаблон валидации телефона, погуглите атрибут pattern — A. P.] -->
                                                <input class="input" type="tel" placeholder="+380 Номер телефона" id="num" name="num">
                        
                    </div>
                
                <!-- [Немножко наведём красоту по доступности для слепых — A. P.] -->
                <p id="messenger-type" class="call-to-action">Шаг №1: Выберите удобный вам мессенджер</p>
                
                <div class="buttons" role="group" aria-labelledby="messenger-type">
                <label>
                        <input type="radio" name="messenger" value="Facebook">
                            <img src="img/lgt-icon-facebook.svg" class="icon"></img>
                            <p>Messenger</p>
                        </label>
                        <label>
                        <input type="radio" name="messenger" value="Telegram">
                            <img src="img/lgt-icon-telegram.svg" class="icon"></img>
                            <p>Telegram</p>
                        </label>
                        <label>
                        <input type="radio" name="messenger" value="Viber">
                        <img src="img/lgt-icon-viber.svg" class="icon"></img>
                        <p>Viber</p>
                    </label>
                </div>
                    <p><button type="submit" id="go" name="go">Отправить</button></p>
                </form>

PHP

<?php
// [Я не очень понимаю, зачем эта проверка — A. P.]
if (isset($_POST['num'])){
    // [Переменные переопределять не будем, у вас там путаница — A. P.]
    // Параметры для подключения
    $db_host = "localhost"; 
    $db_user = "login"; // Логин БД
    $db_password = "pass"; // Пароль БД
    $db_base = 'name'; // Имя БД
    $db_table = "tablename"; // Имя Таблицы БД
    
    // Подключение к базе данных
    $mysqli = new mysqli($db_host,$db_user,$db_password,$db_base);
    // [Честно, я бы советовал вам применять PDO: во-первых, это красиво ©, а во-вторых, можно было бы поймать исключение, а не делать вот эти вещи — A. P.]
    // Если есть ошибка соединения, выводим её и убиваем подключение
  if ($mysqli->connect_error) {
      die('Ошибка : ('. $mysqli->connect_errno .') '. $mysqli->connect_error);
  }
    // [Давайте подготовим запрос, чтобы к вам никто не пролез с SQL-инъекцией — A. P.]
    $result = $mysqli->prepare(sprintf("INSERT INTO %s (num) VALUES (?)"), $db_table);
    $result->bind_param("s", $_POST['num']);
    $result->execute();

    // [Поскольку мы хотим сделать редирект, уберём echo. По-хорошему, такие ошибки надо логировать в файл — A. P.]
    // [А вот теперь возьмём значения радиокнопок из формы и определим, куда перенаправлять — A. P.]
    $redirect = [
        'Facebook' => 'https://messenger.com',
        'Telegram' => 'https://t.me',
        'Viber' => 'https://some.url.to.viber'  // [Понятия не имею, какой у него URL — A. P.]
    ];

    header(sprintf('location: %s', $redirect[$_POST['messenger']]));
}