Как применяются классы private в Java?

Не самый частый кейс но обычно они применяются когда нужно какой-то кусок логики вынести отдельно, но так чтоб он не был доступен снаружи.

Небольшой пример:

Например у вас есть какой-то класс который обрабатывается состояния. На вход он получает какие-то данные и должен на выходе дать вам ответ. Но каждое состояние вычисляется по своей собственной логике и это логика не очень проста. Так вот вы можете создать несколько приватных классов в каждом из которых будет своя логика вычисления, а уже в самом обработчике просто вызывать один из методов этих классов для вычисления состояния.

На практике используются они не часто, и в целом ничего не мешает вам вынести все это в отдельные методы. Но так вы можете разделить часть логики более явно.