Парабола касательная к 2м прямым
Есть прямая y=0.35x; и прямая с неизвестным параметром y=0.6x+z. И есть касательная к ней парабола с параметром y=ax^2+0.35x. Парабола должна быть касательной к обеим прямым (у=0,35х уже касательная в точке (0,0) ) и к у=0,6х+z; касание должно быть при y=324. и потому надо вычислить параметры (a,z) и x при котором оно все выполняется. Так оно должно иметь только одно решение уравнения в точке у=324.
Проверил графически себя в маткад но это не результат.
При подборе параметров в маткад дает рекурсию скорее всего от того что неправильно записую условия неправильно что то в условии. Попытка вычислить аналитически через систему yk=y0+y'(x0)(x-x0) уводит меня к натуральным логарифмам которые аж никак не помогли вычислить коефициенты так как y'=(yk-y0)/(x0)(x-x0) и при интегрировании выходит ln.... что не помогает вычислить коеффициенты.
Ответы (2 шт):
«Вычтем» из параболы неизвестную прямую. Получим
y = ax^2 - 0.25x - z
Из условия, что прямая касалась параболы в некоторой точке, можно построить систему уравнений y = 0 и y’ = 0
ax^2 - 0.25x - z = 0 (1)
2ax - 0.25 = 0 (2)
Тут два уравнения и три неизвестных, так что решить её нельзя, но тем не менее можно получить зависимости между a и z. Из уравнения (2)
2ax = 0.25 = 1/4 <=>
x = 1/(8a)
подставляем x в уравнение (1)
a(1/(8a))^2 - 1/4 * 1/(8a) = z <=>
1/(64a) - 1/(32a) = z <=>
-1/(64a) = z <=>
a = -1/(64z)
а именно a = -1/(64z).
Таким образом, для любого значения z (кроме 0) есть такое значение a, что парабола и прямая касаются друг друга.
Теперь найдём точку касания. Подставим найденное соотношение в уравнение (2)
2ax = 1/4 <=>
-2x/(64z) = 1/4 <=>
x = -8z (3)
Таким образом мы нашли координату x точки касания. Подставим (3) в исходное уравнение прямой (y = 0.6x + z)
y = 0.6x + z <=>
y = -24z/5 + z <=>
y = -19z/5 (4)
таким образом мы нашли координаты точки касания ((3), (4))
x = -8z
y = -19z/5
Пишем графики параболы и прямых :
парабола a*x^2+0.35*x
левая 0.35*x
правая 0.6*x+z
их производные :
парабола 2*a*x+0.35
левая 0.35
правая 0.6
наклон параболы == наклон правой
2*a*x+0.35 == 0.6
место правой прямой при касании == 324
0.6*x+z == 324
место параболы при касании == 324
a*x^2+0.35*x == 324
Три уравнения и три неизвестных решаем :
2*a*x+0.35 == 0.6
a = (0.6-0.35)/2/x= 0.125/x
a*x^2+0.35*x == 324
(0.125/x)*x^2+0.35*x == 324
0.125*x+0.35*x == 324
x = 682.105
0.6*x+z == 324
0.6*682.105+z == 324
z = -85.2632
a = 0.125/x = 1.833e-4