Проблема с массивом char c++

потому что через "" - задаются строки, по сути это указатели в память, а вы сравниваете с char - однобайтовой буквой

буквы (символы) задаются через ''

правильно так:

gotten_word[0] == 'A'

Кроме того char - это так же может интерпретироваться как целочисленное значение от -128 до 127, поэтому компилятор и ругнулся на то, что вы сравниваете между указателем ("A") и числом (char - gotten_word[0])