Как объединить 3 формы в одно email письмо

Всё зависит от того, как у вас выстроены эти 3 формы.

Вариант 1: это 3 разные страницы(page/register1,page/register2,...)

Самый простой способ: сессия
Вариант посложнее - сервис через DI, примерно такой:

class РегистрацияПокупки
{
    private FirstForm $firstStepData;
    private SecondForm $secondStepData;
    private ThirdForm $thirdStepData;

    private ResultDto $result;

    // formGetters
    // formGetters2
    // formGetters3
    // formSetters
    // formSetters2
    // formSetters3

    public function getData(){
        $data = $this->mapDataToDto();
        $this->flushForms();
        return $data;
    }
}

Вариант 2: это всё одна страница, и всё меняется через JS
Ещё проще, ставим одинаковый action для всех форм, а дальше, уверен, с 3мя формами управитесь