Задача по теории вероятности (биномиальное и геометрическое распределение)

Question

Стрельбу по цели ведут до получения двух попаданий. Найти математическое ожидание числа произведенных выстрелов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,2.

Я склоняюсь к тому, что ответом является:

M(X*Y) = M(X)*M(Y)
M(X*Y) = ((1-0.2)/0.2)^2 = 14,

но все равно есть сомнения: а может, M(X+Y) - правильно. Подскажите, пожалуйста.

Answer 1

Давайте прикинем - какова вероятность того, что надо стрелять n раз, чтоб попасть 2 раза? Это серия из n-1 выстрелов с промахами и одним попаданием, и последний выстрел - попадание. Вероятность получения конкретной серии из n-1 выстрела с единственным попаданием - 0.8^(n-2)*0.2, и вариантов размещения первого попадания среди n-1 выстрела - (n-1), так что имеем вероятность того, что надо стрелять n раз, чтоб попасть 2 раза - .

Для поиска матожидания надо умножить вероятность на n и просуммировать по всем n от 0 до бесконечности (реально - от 2 до бесконечности, но это ничего не меняет: первые члены нулевые):

Или, так как p = 0.2, искомое матожидание равно 10.

Всё.

P.S. Ну мы же все программисты, нет? :) Проводим вычислительный эксперимент, в чем проблема...

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <random>

using namespace std;

mt19937 gen(random_device{}());
uniform_real_distribution<> dis(0.0, 1.0);

int howmuch()
{
    int count = 0;
    for(int ok = 0; ok < 2; count++)
        if (dis(gen) < 0.2) ok++;
    return count;
}

int main()
{
    int total = 0, ok = 0;
    for(; total < 1000000;)
    {
        ok += howmuch();
        total++;
    }
    cout << double(ok)/total << "\r";
}

Результат смотрим тут.

Answer 2

Большое спасибо всем, кто отвечал! Я таки написал преподавателю свой вопрос. Он подтвердил, что считать нужно, как я думал (вроде). Отдельная благодарность Harry. Он дал довольно подробный ответ с примером кода. И, думаю, его ответ справедлив для множества случаев.

Answer 3

Если здравого смысла недостаточно, можно и формул накидать

X - число неудачных попыток до первого попадания
Y - число произведённых выстрелов до первого попадания = 1 + X
Z - число произведённых выстрелов до второго попадания

Пусть q = 1-p

P(X=0) = p
P(X=1) = pq
P(X=m) = pq^m

Ряд: p, pq, pqq, ..., p*q^m

Производящая функция:   
f(z) = p*sum((p*z)^m), m=[0, Inf)
f(z) = p/(1-qz)
f'(z) = pq/(1-qz)^2

M(X) = f'(1) = pq/(1-q)^2 = pq/p^2 = q/p
M(Y) = 1 + M(X) = (p+q)/p = (p+(1-p))/p = 1/p

M(X) = q/p = 4
M(Y) = 1/p = 5

M(Z=Y1+Y2) = M(Y1+Y2) = 2*M(Y) = 10

БЛОГ НА HUSL

Задача по теории вероятности (биномиальное и геометрическое распределение)

Ответы (3 шт):