Существуют ли такие значения x и y
Существуют ли такие x и y при которых √(x^2 + y) = целое число и √(y^2 + x) = целое число.
Ответы (2 шт):
Введем ограничения x^2 + y >= 0 и y^2 + x >= 0
Теперь можем смело возвести в квадрат, получить x^2 + y = y^2 + x
То есть x^2 - y^2 = x - y
(x - y) * (x + y) = (x - y).
То есть либо x = y, либо (x + y) = 1, корни x и y в этом случае должны удовлетворять ограничениям выше.
Будем разбирать случаи:
x > 0,y > 0
sqrt(x^2 + y) > sqrt(x^2) <=>
sqrt(x^2 + y) > x <=> (корень целое число)
sqrt(x^2 + y) >= x + 1 <=>
x^2 + y >= (x + 1)^2 <=>
x^2 + y >= x^2 + 2x + 1 <=>
y >= 2x + 1 <=>
-2x + y >= 1 <=>
2x - y <= -1
Аналогично выводим 2y - x <= -1.
Складываем оба неравенства: y + x <= -2.
Противоречие.
x < 0,y < 0
sqrt(x^2 + y) < sqrt(x^2) <=>
sqrt(x^2 + y) < -x <=> (корень целое число)
sqrt(x^2 + y) <= -x - 1 <=> x^2 + y <= (-x - 1)^2 <=>
x^2 + y <= x^2 + 2x + 1 <=>
y <= 2x + 1 <=> -2x + y <= 1 <=> 2x - y >= -1
Аналогично выводим 2y - x >= -1.
Складываем оба неравенства: y + x >= -2.
Единственное решение x = y = -1.
x < 0,y > 0
sqrt(x^2 + y) > sqrt(x^2) <=>
sqrt(x^2 + y) > -x <=> (корень целое число)
sqrt(x^2 + y) >= -x + 1 <=> x^2 + y >= (-x + 1)^2 <=>
x^2 + y >= x^2 - 2x + 1 <=>
y >= -2x + 1 <=> 2x + y >= 1
sqrt(y^2 + x) < sqrt(y^2) <=>
sqrt(y^2 + x) < y <=> (корень целое число)
sqrt(y^2 + x) <= y - 1 <=> y^2 + x <= (y - 1)^2 <=>
y^2 + x <= y^2 - 2y + 1 <=>
x <= -2y + 1 <=> 2y + x <= 1 <=> -2y - x >= -1
Складываем оба неравенства: x - y >= 0.
Противоречие.
Остальные случаи оставляю в качестве упражнения.