Как лучше обновлять информацию в контроле из процесса, запущенного в отдельном потоке? Через события, BeginInvoke или через async? Или еще как-то?

Как вам верно сказали в комментариях, у вас три вопроса.

1. Как обновлять UI?

   Долгоиграющий фоновый процесс относится к модели, и он сообщает о результатах как ему удобно. Если результат один, скорее всего он возвращается в виде промиса Task<T>. Если результатов много, скорее всего вам нужно IAsyncEnumerable<T> или IObservable<T>. Если у вас числомолотилка, может быть, возвращать стоит синхронно материальный результат.

   Часть кода, которая маршаллирует результаты в UI-поток и запускает процесс обновления UI, принадлежит к бизнес-логике. Для Task<T>, например, вообще никаких дополнительных действий не нужно, для IObservable<T> вам нужно ObserveOn и т. д.

2. Как лучше перезапустить фоновое задание?

   В 2020 году вовсе не нужно использовать сырые потоки. Используйте промисы (Task или Task<T>). Для сообщения об ошибке вам нужны исключения, Task займётся маршаллированием исключений в нужный поток за вас.

3. Использовать ли исключения для управления фоновыми заданиями?

   Конечно, исключения и try/catch.