Binding для события

Давайте я покажу вам код, который имел в виду @aepot.

Вам нужно определить аргумент так:

class DialogArgs : VM
{
    public DialogArgs(Action<string> textChangeCallback) =>
        this.textChangeCallback = textChangeCallback ??
                throw new ArgumentNullException(nameof(textChangeCallback));

    string header;
    public string Header
    {
        get => header;
        set => Set(ref header, value);
    }

    string text;
    public string Text
    {
        get => text;
        set
        {
            if (Set(ref text, value))
                textChangeCallback(text);
        }
    }

    private readonly Action<string> textChangeCallback;
}

Базовый класс VM с реализацией INotifyPropertyChanged вам пригодится и в других местах:

class VM : INotifyPropertyChanged
{
    protected bool Set<T>(ref T field, T value,
                         [CallerMemberName] string propertyName = null)
    {
        if (EqualityComparer<T>.Default.Equals(field, value))
            return false;

        field = value;
        RaisePropertyChanged(propertyName);
        return true;
    }

    protected void RaisePropertyChanged([CallerMemberName] string propertyName = null) =>
        PropertyChanged?.Invoke(this, new PropertyChangedEventArgs(propertyName));

    public event PropertyChangedEventHandler PropertyChanged;
}

а вместо Text="{Binding Text, Mode=OneTime}" написать Text="{Binding Text, UpdateSourceTrigger=PropertyChanged}"

Ну и показ диалога при этом будет выглядеть так:

DialogHost.Show(
    new DialogArgs(callback) { Header = "Header", Text = "Text" },
   "RenameDialog");

(например, я пробовал вместо callback написать t => Debug.WriteLine(t), так что изменённый текст выводился в окошко Output).

Дополнение по результатам обсуждения в комментариях. Чтобы показывать ошибочный или неошибочный выбор имени, вам нужно добавить ещё пару свойств в DialogArgs:

    bool isGood;
    public bool IsGood
    {
        get => isGood;
        set => Set(ref isGood, value);
    }

    string errorText;
    public string ErrorText
    {
        get => errorText;
        set => Set(ref errorText, value);
    }

В вашем диалоге вы привязываете цвета к IsGood через конвертер (или пользуетесь триггером), и выводите текст из ErrorText в качестве сообщения об ошибке. А код вашего callback'а должен проверять имя, и устанавливать IsGood и ErrorText.

Например, так. Вот конвертер:

class HintColorConverter : IValueConverter
{
    public object Convert(object value, Type t, object parameter, CultureInfo ci) =>
        value is true ? Brushes.Black : Brushes.Red;
    public object ConvertBack(object value, Type t, object parameter, CultureInfo ci) =>
        throw new NotSupportedException();
}

Textbox в коде диалога:

<TextBox Text="{Binding Text, UpdateSourceTrigger=PropertyChanged}" Margin="15 50 15 0" VerticalAlignment="Top"
         Style="{StaticResource MaterialDesignFloatingHintTextBox}"
         Foreground="{Binding IsGood, Converter={StaticResource HintColorConverter}}"
         materialDesign:HintAssist.Foreground="{Binding IsGood, Converter={StaticResource HintColorConverter}}"
         materialDesign:TextFieldAssist.UnderlineBrush="{Binding IsGood, Converter={StaticResource HintColorConverter}}">

и в начала DataTemplate, конечно,

<DataTemplate.Resources>
    <local:HintColorConverter x:Key="HintColorConverter"/>
</DataTemplate.Resources>

Вот такое хитрое создание DialogArgs (считаем чётную длину правильной):

DialogArgs args = null;
args = new DialogArgs(t => args.IsGood = t.Length % 2 == 0) { Header = "Header" };
args.Text = "Text";
await DialogHost.Show(args, "RenameDialog");

Результат:

Можно и через триггеры, тогда вам не нужен конвертер:

<TextBox Text="{Binding Text, UpdateSourceTrigger=PropertyChanged}" Margin="15 50 15 0" VerticalAlignment="Top">
    <TextBox.Style>
        <Style BasedOn="{StaticResource MaterialDesignFloatingHintTextBox}" TargetType="TextBox">
            <Style.Triggers>
                <DataTrigger Binding="{Binding IsGood}">
                    <DataTrigger.Value><sys:Boolean>False</sys:Boolean></DataTrigger.Value>
                    <DataTrigger.Setters>
                        <Setter Property="Foreground" Value="Red"/>
                        <Setter Property="materialDesign:HintAssist.Foreground" Value="Red"/>
                        <Setter Property="materialDesign:TextFieldAssist.UnderlineBrush" Value="Red"/>
                    </DataTrigger.Setters>
                </DataTrigger>
            </Style.Triggers>
        </Style>
    </TextBox.Style>
</TextBox>

(не забудьте где-то вверху xmlns:sys="clr-namespace:System;assembly=mscorlib")

Если проверка длинная, сделайте её асинхронной.