Как сделать чтобы мой код работал и в фоновом режиме?

Qt может получить доступ к событиям клавиатуры, только если любое из его окон верхнего уровня имеет фокус клавиатуры.
Если окно свернуто или другое окно сфокусировано, вы не будете получать события клавиатуры.

Единственное решение - использовать внешнюю библиотеку, но у них есть ограничения в зависимости от используемой ОС.
Eсть разные решения, вам может понадобиться посмотреть в https://pypi.python.org/pypi/keyboard/ или https://pypi.org/project/pynput/ .

Обратите внимание:

• ваш пример сокращен до минимального. Для наблюдения происходящего используйте клавишу A .
• форма перенесена в отдельный модуль keyboard_ui.py.
• использовал библиотеку keyboard, если окно не активное !!!

То что вы хотите, может выглядеть примерно так:

import time
import keyboard                                          # pip install keyboard
from PyQt5.Qt import *
from keyboard_ui import Ui_MainWindow


keymap = {}
for key, value in vars(Qt).items():
    if isinstance(value, Qt.Key):
        keymap[value] = key.partition('_')[2]

modmap = {
    Qt.ControlModifier: keymap[Qt.Key_Control],
    Qt.AltModifier: keymap[Qt.Key_Alt],
    Qt.ShiftModifier: keymap[Qt.Key_Shift],
    Qt.MetaModifier: keymap[Qt.Key_Meta],
    Qt.GroupSwitchModifier: keymap[Qt.Key_AltGr],
    Qt.KeypadModifier: keymap[Qt.Key_NumLock],
}


class Example(QMainWindow, Ui_MainWindow):
    def __init__(self):
        super().__init__()
        self.setupUi(self)

        self.prev_key = []
        self.key_by_time = dict()        

# +++ vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv
        self.qwindowIsActive = True
        self.hook = None
        QTimer.singleShot(0, self.on_qwindow)
# +++ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

    def mousePressEvent(self, event):
        if event.button() == Qt.LeftButton:
            self.label.setStyleSheet("color: red;")
            self.prev_key = [self.label, ]
        # ...
        
    def mouseReleaseEvent(self, event):
        if event.button() == Qt.LeftButton:
            self.label.setStyleSheet("color: black;")
            self.prev_key = [self.label, ]
        # ...

    def keyPressEvent(self, event):
        _key, _keys = self.keyevent_to_string(event)
        key = event.key()
        if not event.isAutoRepeat() and key not in self.key_by_time:
            self.key_by_time[key] = time.perf_counter()
        if self.prev_key:
            for k in self.prev_key:
                k.setStyleSheet("")
                
        if _keys[0] == 'Control' and key == Qt.Key_A:
            self.A.setStyleSheet("color: red;")
            self.Ctrl.setStyleSheet("color: red;")
            self.prev_key = [self.Ctrl, self.A]
        elif _keys[0] == 'Alt' and key == Qt.Key_A:
            self.A.setStyleSheet("color: red;")
            self.Alt.setStyleSheet("color: red;")
            self.prev_key = [self.Alt, self.A]
        elif _keys[0] == 'Shift' and key == Qt.Key_A:
            self.A.setStyleSheet("color: red;")
            self.ShifL.setStyleSheet("color: red;")
            self.prev_key = [self.ShifL, self.A]
        elif key == Qt.Key_A:
            self.A.setStyleSheet("color: red;")
            self.prev_key = [self.A, ]        
        # ...

    def keyReleaseEvent(self, event):
        _key, _keys = self.keyevent_to_string(event)
        key = event.key()
        if self.prev_key:
            for k in self.prev_key:
                k.setStyleSheet("")

        if _keys[0] == 'Control' and key == Qt.Key_A:
            self.A.setStyleSheet("color: black;")
            self.Ctrl.setStyleSheet("color: black;")
            self.prev_key = [self.Ctrl, self.A]
        elif _keys[0] == 'Alt' and key == Qt.Key_A:
            self.A.setStyleSheet("color: black;")
            self.Alt.setStyleSheet("color: black;")
            self.prev_key = [self.Alt, self.A]
        elif _keys[0] == 'Shift' and key == Qt.Key_A:
            self.A.setStyleSheet("color: black;")
            self.ShifL.setStyleSheet("color: black;")
            self.prev_key = [self.ShifL, self.A]
        elif key == Qt.Key_A:
            self.A.setStyleSheet("color: black;")
            self.prev_key = [self.A, ]
            if not event.isAutoRepeat() and key in self.key_by_time:
                t = self.key_by_time.pop(key)
                self.time_right.setText(f'Кнопка {key!r} была нажата {time.perf_counter() - t:.2f} секунд')
        # ...
            
    def keyevent_to_string(self, event):
        sequence = []
        for modifier, text in modmap.items():
            if event.modifiers() & modifier:
                sequence.append(text)
        key = keymap.get(event.key(), event.text())
        if key not in sequence:
            sequence.append(key)
        return '+'.join(sequence), sequence

# +++ vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv
    def on_qwindow(self):        
        self.qwindow = self.windowHandle()
        self.qwindow.activeChanged.connect(self.handle_activeChanged)

    def handle_activeChanged(self):
        print("окно активное (isActive)? {}".format(self.qwindow.isActive()))               # !!!
        if self.qwindow.isActive():
            self.qwindowIsActive = True
        else:
            self.qwindowIsActive = False
        self.setGrabbing()    
        
    def setGrabbing(self): 
        if not self.qwindowIsActive:                                  # если окно не активное 
            self.hook = keyboard.hook(self.keyboardEventReceived)            
        else:
            if self.hook:
                keyboard.unhook(self.hook)
        
    def keyboardEventReceived(self, event):
        print(f"keyboardEventReceived: event_type -> {event.event_type}, event.name -> {event.name}")
        
        if event.event_type == 'down':
            if event.name in ['A', 'a']:
                print('A Press')
                self.A.setStyleSheet("color: red;")
        # ...
                
        if event.event_type == 'up':
            if event.name in ['A', 'a']:
                print('A Release')   
                self.A.setStyleSheet("color: black;")
        # ...
# +++ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
        
        
if __name__ == "__main__":
    import sys
    app = QApplication(sys.argv)
    w = Example()
    w.show()
    sys.exit(app.exec_())