W-функция Ламберта

Что значит (цитирую) "При вычислении уравнения 2x - exp(-x) = 2, получилось, что x = (1 / 2exp(x)) + 1"? \

Ведь Вы не решение получили (в правой части также присутствует х), а просто исходное уравнение немного по-другому переписали. Поэтому нечего даже попытаться (цитирую) "...проверить в Wolfram, а там решение в виде W-функции Ламберта...".

Теперь по поводу функции Ламберта.

W-функция Ламберта является обратной функцией к функции f(y)=y*exp(y), и она определяется интересным тождеством W(y*exp(y))=y. Запомним это тождество, так как оно понадобится при решении нашего (вернее, Вашего) уравнения.

Итак, необходимо решить уравнение 2x - exp(-x) = 2. Преобразуем его: 2*(x-1)=exp(-x). Умножив обе части этого уравнения на exp(x), а затем поделив на 2, получаем (x-1)*exp(x)=1/2. Теперь умножим обе части последнего уравнения на exp(-1): (x-1)*exp(x)*exp(-1)=(1/2)*exp(-1), или, написав по-другому, имеем (x-1)*exp(x-1)=1/(2*e).

Применив к обеим частям этого уравнения W-функции Ламберта, получаем: W((x-1)*exp(x-1))=W(1/(2*e)).

Теперь сравним полученное уравнение с тождеством Ламберта W(y*exp(y))=y. Видим, что левая часть нашего последнего уравнения при обозначении y=x-1 полностью совпадает с левой частью тождества Ламберта. Но левая часть тождества Ламберта равна y, и, следовательно, левая часть нашего последнего уравнения должна равняться y, а у у нас есть x-1.

Итак, получили, что x-1=W(1/(2*e)). Отсюда x=1+W(1/(2*e)). Вот и все!

P.S. W(1/(2*e)) есть число, и оно находится приближенно или из графика W-функции Ламберта, или численными методами (итерационными, и т.д. методами), или несколькими первыми членами ряда Тейлора для W-функции Ламберта.