Подскажите как реализовать обработчик событий клавиатуры в JavaFX непосредственно через контроллер

Вам нужно вызвать объект класса model и соответствующий метод в классе контроллер.

    private final Model model = new Model()
    private void go() {
    model.setButton(send_Button);
    model.setTextArea(output_text);
    model.setTextField(write_text);
    model.send();
}


public void send(ActionEvent actionEvent) {
    this.go();
}

А вот в методе send можете уже делать так как видели в main