Докажите, что количество делителей квадрата натурального числа - число нечетное
Задача:
Докажите, что количество делителей квадрата натурального числа - число нечетное. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
Указание:
Все делители числа
n^2, кроме одного, можно разбить на пары вида(d; n^2 / d), гдеd != n^2 / d.
Кроме одного - это когда делитель n?
- Можно ли это доказать более наглядно?
- И как выглядит обратное утверждение и его доказательство?
Ответы (1 шт):
Доказывается элементарно.
Расмотрим 2 варианта: n = 1 и n > 1.
При n = 1:
n**2 = 1, а значит делитель только один - единица. Утверждение справедливо.
При n > 1:
Пусть n = (p1**a1)(p2**a2)...(pk**ak) - разложение числа n на простые множители. Тогда количество делителей этого числа равно (a1+1)(a2+1)...(ak+1).
Возведём n в квадрат и посмотрим разложение на простые множители: n2 = n**2 = (p1**(2*a1))(p1**(2*a2))...(pk*(2*ak)).
Число делителей n2 равно (2a1 + 1)(2a2 + 1)...(2ak + 1) - число гарантированно нечётное.
В обратную сторону.
Если у положительного целого числа нечётное число делителей, то оно является квадратом целого числа.
Пусть число делителей нечётно. Это либо единица, либо больше единицы. Единица равна квадрату единицы - для неё утверждение справедливо.
Пусть теперь у числа n > 1 нечетное количество делителей. Разложим его на простые множители: n = (p1**a1)(p2**a2)...(pk**ak). Количество делителей этого числа (a1+1)(a2+1)...(ak+1) - нечётное. Следовательно, каждое из чисел (ai+1) - нечётно. Следовательно каждое число ai - чётно, то есть представимо в виде ai = 2*bi, где bi > 0.
Возьмём число m = (p1**b1)(p2**b2)...(pk**bk). Очевидно, что m*m == n.