Как передать запрос в contoller laravel с помощью axios

Вы можете использовать пакет axios, это удобная обертка над ajax запросом.

 created() {
    axios.get(`http://loacalhost/users/profile`)
    .then(response => {
      // JSON ответ
      this.user = response.data
    })
    .catch(e => {
      // обработка ошибки
      this.errors.push(e)
    })
  }

Данный код помещается в блок script вашего компонента. Также необходимо импортировать сам модуль import axios from 'axios'; для данного компанента, если он не импортируется глобально.

Почитайте больще про данный модуль, вы найдете много примеров