Как сделать загрузку артифакта из TeamCity на сервер?

Там же есть таск для того, чтобы выкладывать артифакты по SMB или SSH. На серверах для этого не нужен агент TC, соответственно, вам не нужны лицензии.

1. Не могу понять, подойдет ли мне TeamCity Professional, для большого кол-во серверов, если кол-во будет расти?

Да, подойдет.

2. Мне понадобиться на каждый сервер установить агента и написать build для обновление файлов?

   Нет, один агент может загружать файлы по ssh на любое количество серверов удаленно.

3. 3 build agents included - не очень понимаю, что это значит?

   Простым языком: Это значит вы можете одновременно использовать до трех рабочих машин для выполнения заданий (билдов) тимсити. Ту же самую работу может выполнять и один агент, просто задачи (билды) будут складываться в очередь, которую будет разбирать агент. Для задачи загрузки файлов на удаленные сервера одного агента должно хватить с головой.