Получение времени из строки

Сложную задачу нужно делить по частям:

1. Парсинг текста. Для получения количества и единицы измерения времени (year, month, ...). Мне кажется, в вашем случае, самое удобное это через регулярные выражения.
2. Сопоставление единицы измерения времени к количеству миллисекунд
3. Суммирование миллисекунд

Покажу примеры шагов, но с неполной реализацией

1. Тут в регулярном выражении я указываю, что ожидается число и единица измерения (остальные сами добавите, разделяя их вертикальной чертой)

   String text = "1week5day10hour";
   
   Matcher m = Pattern.compile("(\\d+)(week|day|hour)").matcher(text);
   while (m.find()) {
       int number = Integer.parseInt(m.group(1));
       String kind = m.group(2);
       System.out.println(number + " " + kind);
   }
   

   Результатом будет:

   1 week
   5 day
   10 hour
   

2. Можно это сделать через if/switch, но я сделаю через словарь. Кст, в этом случае удобно сделать регулярное выражение от ключей словаря, чтобы не повторяться в словаре и в шаблоне регулярки.

   Map<String, Long> kindByMs = new HashMap<String, Long>() {{
       put("week", 604800000L);
       put("day", 86400000L);
       put("hour", 3600000L);
   }};
   
   Matcher m = <регулярка>
   while (m.find()) {
       int number = Integer.parseInt(m.group(1));
       String kind = m.group(2);
       long ms = kindByMs.get(kind);
       System.out.println(kind + " = " + ms + " ms");
   }
   

   Результат:

   week = 604800000 ms
   day = 86400000 ms
   hour = 3600000 ms
   

3. Для сложения используйте переменную с типом long, но, возможно, лучше через большие числа, т.е. через BigInteger

Можно еще при помощи сканера, стримов и таймюнитов (последнее для упрощения конвертации):

public static void main(String[] args) {
    Scanner scanner = new Scanner("1hour10minute");
    System.out.println(
            scanner
            .findAll("(\\d+)(second|minute|hour|day|week|month|year)")
            .map(matchResult ->
                Long
                        .valueOf(TimeUnit.valueOf((matchResult.group(2) + "s")
                                .toUpperCase())
                                .toMillis(Integer.valueOf(matchResult.group(1))))
            ).reduce((aLong, aLong2) -> aLong + aLong2).orElse(0L)
    );
}

Что тут происходит?

• findAll разбивает строку на токены "число-период" и приводит всё это к стриму.
• map приводит каждый элемент стрима к миллисекундам. Для этого он использует стандартную сущность TimeUnit. Т.к. таймюниты из задачи отличаются от нужного представления только единственным числом, мы просто добавляем s в конец.
• reduce схлопывает наш стрим в число через сложение отдельных элементов.