Самый быстрый способ записи текста в файл с использованием C# в ОС Linux?

StreamWriter будет быстрее чем File.AppendAllText(), т.к. AppendAllText вызывает InternalAppendAllText.

private static void InternalAppendAllText(String path, String contents, Encoding encoding)
        {
            Contract.Requires(path != null);
            Contract.Requires(encoding != null);
            Contract.Requires(path.Length > 0);
 
            using (StreamWriter sw = new StreamWriter(path, true, encoding))
                sw.Write(contents);
        }

Ещё быстрее будет если вы будете писать напрямую массив байт (полученный из текста) через FileStream WriteAsync.