Проект Эйлера, 12 задача. Программа выводит пустой результат после того как число делителей превышает 90

Ваш код работает правильно, и проблема вероятнее всего в том, что количество вычислений очень велико, поэтому после 90 делителей ваша программа либо падает, либо решает очень долго. Попробуйте погуглить оптимальные решения задачи по нахождению количества делителей, они помогут вам сократить количество вычислений. Я предлагаю вам такую оптимизацию: не проверять делимость после triangle/2, так как известно, что x после x/2 натуральных делителей иметь не может. Так вы сокращаете количество вычислений вдвое. На 500 не пробовал, попробовал на 200, через две минуты решилось.

DIVIDERS_COUNT = 200 # количество делителей искомого числа

triangle = 0 #треугольные числа
c = 1 # переменная для натуральных чисел
count = 1 # счетчик количества делителей


while count < DIVIDERS_COUNT:
    count = 1 # счетчику сразу присваивается 1, так как мы не будем считать triangle
    triangle += c
    for i in range(1, int(triangle/2) + 1 ):
        if triangle % i == 0:
            count += 1
    c += 1
print(triangle)

Проблема в условии while count < 91:. Треугольное число T₂₂₄ = 25200 имеет ровно 90 делителей. Следующее треугольное число с большим количеством делителей – T₃₈₄ = 73920. У него 112 делителей. Вообще количество делителей числа очень любит само состоять из большого количества маленьких множителей. Например 90 = 2·3·3·5, 112 = 2·2·2·2·7. А если вы захотите отыскать треугольное число с 91 множителем ровно, вам придётся ждать долго, возможно, бесконечно долго.

Если заменить условие на while True:, ваша программа отыщет T₃₈₄ быстрее чем за секунду.

Для запуска программы с разными параметрами я её переделал:

def tau(n):
    c = 0
    for i in range(1, n + 1):
        if n % i == 0:
            c += 1
    return c


k = int(input())
i = 1
while True:
    t_i = i * (i + 1) // 2
    count = tau(t_i)
    if count >= k:
        print(i, t_i, count)
        break
    i += 1

Пользоваться так: на входе желаемое число делителей, на выходе индекс i, само T_i и количество делителей τ(T_i). Чтобы отыскать следующее число с большим количеством делителей, подайте на вход число τ(T_i) + 1. Получится цепочка вроде:

Чем дальше, тем дольше ждать следующее число. В конце таблицы время подбирается к минуте на новое число. А двигаться далеко, нужно > 500, мы добрались до 192. Нужна оптимизация.

Процедура tau(n) вычисляет количество делителей числа n: τ(n). Подробности в статье Функция делителей. τ(n) мультипликативна. Треугольное число вычисляется как: T_i = ^{i(i + 1)}/₂. Множители i и i + 1 взаимнопросты, а тогда:

• если i = 2k, то k и 2k + 1 взаимнопросты и τ(T_i) = τ(k(2k + 1)) = τ(k)τ(2k + 1);
• если i = 2k + 1, то 2k + 1 и k + 1 взаимнопросты и τ(T_i) = τ((2k + 1)(k + 1)) = τ(2k + 1)τ(k + 1).

Время работы tau(n) пропорционально n, следовательно такое разбиение может серъёзно сократить время поиска: одно n заменяется на два сомножителя порядка √n. В конце таблицы мы перевалили через миллион, можно ожидать ускорения в тысячу раз. Код:

def tau(n):
    c = 0
    for i in range(1, n + 1):
        if n % i == 0:
            c += 1
    return c


k = int(input())
i = 1
while True:
    f1 = i
    f2 = i + 1
    if f1 % 2 == 0:
        f1 //= 2
    else:
        f2 //= 2
    count = tau(f1) * tau(f2)
    if count >= k:
        print(i, f1 * f2, count)
        break
    i += 1

И продолжение таблицы:

Задача решена. Новая программа тратит на неё меньше семи секунд:

$ time echo 500 | python pe12.py
12375 76576500 576

real  0m6.361s
user  0m6.356s
sys   0m0.004s

P.S. Можно улучшить процедуру tau(n), перебирать множители только до √n это ещё ускорит поиск. Можно считать число делителей по разложению n на простые множители, и это тоже ускорит поиск. Я этого не делаю, довольно того что задача номер двеннадцать решена сравнительно просто и можно переходить к следующей. Их там много.