Скорость сходимости итерационного процесса
Означает ли бОльшая скорость сходимости одного итерационного метода решения СЛАУ (по сравнению с другим итерационным методом) строго меньшее число необходимых шагов для получения результата?
Например, решение стационарным методом Зейделя системы 5x5 потребовало 8 шагов, а нестационарным (для которого заявлена бОльшая скорость сходимости) - 11 шагов. Возможно ли это или следует искать ошибку в программной реализации последнего?
Ответы (1 шт):
Да, это абсолютно возможно и нормально.
Есть такое выражение, что всегда (не уверен, что в строго математическом смысле) можно подобрать пример, для которого один итерационный метод решения систем линейных уравнений работает лучше чем другой, особенно если эти методы из разных семейств.
Если продолжить увеличивать требования к критерию сходимости, метод с большей скоростью сходимости начнет обгонять более медленный по сходимости метод. То есть, например, для решения системы с точностью 10^(-3) методу Зейделя потребовалось 8 шагов, а другому методу — 11. Тогда как для 10^(-5) ситуация уже будет в пользу "более продвинутого" метода. Или для 10^(-7).
Итого: выводы о сходимости итерационного процесса и качеству реализации метода в программном коде на основе одного эксперимента с фиксированной заданной точностью решения делать нельзя.
Рекомендации: а) попробовать посмотреть что будет для более строгих требований к точности
б) увеличить немножко матрицу. 5х5 это все же несерьезно. Хотя скорее всего нормально.
в) попробовать это не на случайно взятой матрице, а на матрицах, которыми пользуются для тестирования методов линейной алгебры, в том числе и итеративных методов решения линейных систем уравнений (например, Matrix Market).
NB: существуют ситуации, когда итеративный метод, который имеет лучшую сходимость, имеет более высокие требования к обусловленности системы (число обусловления), предобуславливателям (preconditioner), или правая часть лежит в "очень нехорошем подпространстве". Такие вещи происходят, но чаще на искусственных примерах.