Посчитать вероятность в задаче с последовательным вытягиванием игральных карт
Не могу понять, где ошибаюсь в решении следующей задачи:
Из колоды 36 карт последовательно вытягиваем 4 карты. Какова вероятность того, что только 2-я и 3-я карты - шестерки.
Решение "в лоб":
UPD P(ABCD) = 32/36 * 4/35 * 3/34 * 31/33 ~ 0.00842
(поправил эталонное решение по комментариям rotabor)
Логика решения, которое я исследую:
Задача раскладывается на 2:
вероятность собрать сочетание карт, в которых будет 32 карты с 2мя шестерками:
P(A) = ( С(из 4 по 2) * С(из 32 по 30) ) / С(из 36 по 32) = (6 * 496) / 58905
вероятность того, что в группе из 4 карт (остаток карт после сочетания выше), включая 2 шестерки на 2 и 4 месте будет шестерка:
P(B) = 2 / 4! (т.к. только 2 комбинации из перестановок удовлетворяют условию) = 1/12
Из вышесказанного полная вероятность получится:
P(AB) = (6 * 496) / 58905 * 1/12 ~ 0.00421 - т.е. ровно в 2 раза меньше правильной вероятности.
Я понимаю, что где-то в логике решения я упустил связь между 2 событиями. Но подскажите, где точно я ошибся?
UPD: Похоже, когда я в событии B учитываю кол-во комбинаций шестерок (2), я должен ввести кол-во комбинаций остатка шестерок в событие А (2). В общем полная вероятность получается такая:
Р(АВ) = ((j-i)! * C(из j по j-i) * C(из n-j по k-i) / C(из n по k)) * (i! / m!), где:
m - элементов в выборке (карт) n - общее количество элементов (карт) k - кол-во элементов без выборки (карт в группе) j - кол-во элементов в подгруппе (кол-во шестерок в колоде) i - кол-во элементов подгруппы в выборке (шестерок в группе)
PS: Я понимаю что часть (j-i)! * C(из j по j-i) - это, по сути, размещение А(из j по j-i), но физический смысл понять не могу.
PSS: "Потестил" метод решения для условий "1 шестерка на 4-м месте", "3 шестерки на 2, 3, 4 местах", (фантастическое) "3 шестерки из 6 шестерок в колоде на 3, 4, 5 местах в группе из 5 выбранных карт" - ответ получается верный. По сути, получается, что это вероятность выбрать группу, где на ОПРЕДЕЛЕННЫХ местах будут находиться экземпляры из подгруппы.
Ответы (5 шт):
(учился в универе 11 лет назад, возможно не прав):
Итак, нам важен порядок, поэтому будем считать число благоприятных исходов, делённое на общее число возможных.
Максимальное число размещений:
A = 36* 35 * 34 * 33
Число способов выбрать 2 различные шестёрки и расположить их на этих двух позициях:
P1 = 4 х 3 = 12
(Первую шестёрку выбираем из 4, вторую — из оставшихся 3.)
После выбора 2 шестёрок остаётся 34 карты
P2 = 34 х 33
число благоприятных исходов:
В = 12х33х34
Вероятность = Благоприятные исходы / Все исходы = В / А
Р = (12х33х34)/ (33х34х35х36) = 12 / (35х36) = 1 / 105
Если 1-ая и 4-ая карта могут быть любыми.
Для наглядности представим, что мы выкладываем карты на стол в ряд (достаточно выложить три карты, остальные можно сложить колодой на четвёртом месте).
Вероятность того, что 2-ой картой будет шестёрка, равна 1/9. Вероятность того, что после этого третьей картой будет шестёрка, равна 3/35. Итого 1/105. Как у Shilgen и Fox Fox.
Надо чётко представлять себе модель испытаний. В первом испытании нужно вытащить шестёрку из стандартной колоды (откладывание первой карты не влияет на объект испытания). Во втором испытании нужно вытащить шестёрку из колоды в 35 карт с тремя шестёрками. Требуется найти совместную вероятность этих двух исходов.
Если 1-ая и 4-ая карта не могут быть шестёрками.
Тогда нас интересует совместная вероятность нужных исходов в четырёх испытаниях на четырёх объектах, которую автор правильно нашёл, только перепутав числители:
P(ABCD) = 32/36 * 4/35 * 3/34 * 31/33 ~ 0,00842
В общем, ДЕКОМПОЗИЦИЯ! Сильно упрощает решение.
Программная проверка вычислений/рассуждений натурным опытом на миллионе попыток (результаты несколько плавают, но всё-таки):
from tqdm.auto import tqdm
import numpy as np
cards = np.array([6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14] * 4)
s1 = 0
s2 = 0
n = 1_000_000
for i in tqdm(range(n)):
np.random.shuffle(cards)
s1 += (cards[1] == 6 and cards[2] == 6)
s2 += (cards[0] != 6 and cards[1] == 6 and cards[2] == 6 and cards[3] != 6)
print('1 и 4 карты любые, 2 и 3 шестёрки', s1/n)
print('1 и 4 карты не шестёрки, 2 и 3 шестёрки', s2/n)
Вывод:
1 и 4 карты любые, 2 и 3 шестёрки 0.009554
1 и 4 карты не шестёрки, 2 и 3 шестёрки 0.008406
Так где же ошибка в этом решении?
Задача раскладывается на 2:
- вероятность собрать сочетание карт, в которых будет 32 карты с 2мя шестерками:
P(A) = ( С(из 4 по 2) * С(из 32 по 30) ) / С(из 36 по 32) = (6 * 496) / 58905
- вероятность того, что в группе из 4 карт (остаток карт после сочетания выше), включая 2 шестерки на 2 и 4 месте будет шестерка:
P(B) = 2 / 4! (т.к. только 2 комбинации из перестановок удовлетворяют условию) = 1/12
Какова вероятность того, что в группе из 4-ёх карт (остаток карт после сочетания выше), включая 2 шестерки на 2-ом и 3-ем (не 4-ом) месте будет шестерка?
Первая шестёрка может быть на одной из четырёх позиций, а вторая - на одной из оставшихся трёх. Нам подходит два размещения. Таким образом, вероятность тут равна 1/6, а не 1/12.
Решение:
1.Вероятность того, что вторая карта — шестерка:
- Если первая карта не шестерка, остается 35 карт, из которых 4 — шестерки: P = 4/35.
- Если первая карта шестерка, то среди оставшихся 35 карт только 3 шестерки: P = 3/35.
2.Вероятность того, что третья карта — шестерка:
- Если вторая карта шестерка, то в оставшихся 34 картах остаются 3 шестерки: P = 3/34.
- Если вторая карта не шестерка, то среди оставшихся 34 карт по-прежнему 4 шестерки: P = 4/34.
3.Расчет общей вероятности:
- Вероятность того, что первая карта шестерка: P = 4/36 = 1/9.
- Вероятность того, что первая карта не шестерка: P = 32/36 = 8/9.
4.Теперь считаем общую вероятность:
- P = (8/9) * (4/35) * (3/34) + (1/9) * (3/35) * (2/34) ≈ 0.00953 (или 0.953%).